Materi

A.    FAKTOTIAL

Faktorial dari bilangan asli n adalah hasil perkalian antara bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n. Faktorial ditulis sebagai n! dan disebut n faktorial. Secara umum dapat dituliskan sebagai:

n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅(n−3)⋅...⋅3⋅2⋅1

Sebagai contoh, nilai dari 7! adalah 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=5040. Berikut ini adalah daftar sejumlah faktorial :

n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40320
9 362880
10 3628800
12 479001600
14 87178291200
16 20922789888000
18 6402373705728000
20 2432902008176640000
25 1.5511210043×10²⁵
42 1.4050061178×10⁵¹
50 3.0414093202×10⁶⁴
70 1.1978571670×10¹⁰⁰
100 9.3326215444×10¹⁵⁷
450 1.7333687331×10^1.000
1000 4.0238726008×10^2.567
3249 6.4123376883×10^10.000
10000 2.8462596809×10^35.659
25206 1.2057034382×10^100.000
100000 2.8242294080×10^456.573
205023 2.5038989317×10^1.000.004
1000000 8.2639316883×10^5.565.708

Definisi

Fungsi faktorial didefinisikan sebagai:

Selain definisi tersebut, terdapat juga definisi secara rekursif, yang didefinisikan untuk n≥0

Untuk n yang sangat besar, akan terlalu melelahkan untuk menghitung n! menggunakan kedua definisi tersebut. Jika presisi tidak terlalu penting, pendekatan dari n! bisa dihitung menggunakan rumus Stirling:

Juga terdapat definisi analitik untuk faktorial, yaitu menggunakan fungsi gamma:

B.     BILANGAN FIBONACCI

Bilangan Fibonacci adalah barisan yang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:

Penjelasan: barisan ini berawal dari 0 dan 1, kemudian angka berikutnya didapat dengan cara menambahkan kedua bilangan yang berurutan sebelumnya. Dengan aturan ini, maka barisan bilangan Fibonaccci yang pertama adalah:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946...

Barisan bilangan Fibonacci dapat dinyatakan sebagai berikut:

F_n = (x₁ⁿ – x₂ⁿ)/ sqrt(5)

dengan

·         F_n adalah bilangan Fibonacci ke-n

·         x₁ dan x₂ adalah penyelesaian persamaan x² – x – 1 = 0.

Perbandingan antara F_n+1 dengan F_n hampir selalu sama untuk sebarang nilai n dan mulai nilai n tertentu, perbandingan ini nilainya tetap. Perbandingan itu disebut rasio emasyang nilainya mendekati 1,618

C.    PERKALIAN

Perkalian adalah operasi matematika penskalaan satu bilangan dengan bilangan lain. Operasi ini adalah salah satu dari empat operasi dasar di dalam aritmetika dasar (yang lainnya adalah perjumlahan, perkurangan, dan perbagian).

Perkalian terdefinisi untuk seluruh bilangan di dalam suku-suku perjumlahan yang diulang-ulang; misalnya, 3 dikali 4 (seringkali dibaca "3 kali 4") dapat dihitung dengan menjumlahkan 3 salinan dari 4 bersama-sama:

Perkalian bilangan rasional (pecahan) dan bilangan real didefinisi oleh perumuman gagasan dasar ini.

Perkalian dapat juga digambarkan sebagai pencacahan objek yang disusun di dalam persegi panjang (untuk semua bilangan) atau seperti halnya penentuan luas persegi panjang yang sisi-sisinya memberikan panjang (untuk bilangan secara umum). Balikan dari perkalian adalah perbagian: ketika 3 kali 4 sama dengan 12, maka 12 dibagi 3 sama dengan 4.

Perkalian diperumum ke jenis bilangan lain (misalnya bilangan kompleks) dan ke konstruksi yang lebih abstrak seperti matriks.

 Sifat-Sifat

Untuk bilangan real dan kompleks, yang meliputi bilangan asli, bilangan bulat dan pecahan, perkalian memiliki sifat sebagai berikut:

ü  Sifat Komutatif

Urutan di mana dua nomor dikalikan tidak menjadi masalah:

.

ü  Sifat Asosiatif

Pernyataan yang hanya melibatkan perkalian atau penambahan tidak terpengaruh dengan urutan operasi:

ü  Sifat Distributif

Identitas ini adalah sangat penting dalam menyederhanakan ekspresi aljabar:

ü  Unsur Identitas

Identitas perkalian adalah 1; apa pun jika dikalikan dengan satu akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Hal ini dikenal sebagai sifat identitas:

ü  Unsur Nol

Setiap angka dikalikan dengan nol adalah nol. Hal ini dikenal sebagai sifat nol perkalian:

Ada sejumlah sifat perkalian lainnya yang tidak selalu berlaku untuk semua jenis bilangan.

ü  Negasi

Minus satu dikali suatu bilangan sama dengan balikan aditif dari bilangan tersebut.

Minus satu dikali minus satu adalah positif satu.

ü  Unsur Balikan

Untuk setiap angka x, kecuali nol, memiliki perkalian invers,  , sehingga 

Sistem matematika lainnya yang mencakup operasi perkalian mungkin tidak memiliki semua sifat ini. Misalnya, perkalian tidak komutatif untuk matriks.

D.    PENGERTIAN BILANGAN BERPANGKAT

 Dalam memahami pengertian bilangan berpangkat dapat dijelaskan melalui rumus berikut :

aⁿ = a x a x a x a x a ... x a sebanyak n

 Aturan Dasar Pengoperasian Bilangan Berpangkat

Berikut 8 rumus dalam materi bilangan berpangkat yang admin rasa kalian harus memahami konsepnya karena akan sangat berguna untuk penyelesaian soal-soal matematika yang berhubungan dengan pangkat. yuk simak baik-baik. 

·         Perkalian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama

Rumus : a^p x a^q = a^p+q
Contoh :
a. 2³ x 2² = 2³⁺² = 2⁵
b. 10^-1 x 10⁵ = 10^-1+5 = 10⁴
c. 5 x 5⁵ = 5¹⁺⁵ = 5⁶

• Pembagian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama besar

Rumus : a^p : a^q = a^p-q

Contoh :
a. 2³ : 2² = 2^3-2 = 2¹ = 2
b. 10^-1 : 10⁵ = 10^-1-5 = 10^-6
c. 5 : 5⁵ = 5^1-5 = 5^-4

• Pemangkatan bilangan berpangkat

Rumus : (a^p)^q = a^pxq
contoh :
a. (3⁴)² = 3^4x2 = 3⁸
b. (6^-2)³ = 6^-2x3 = 6^-6

• Pemangkatan dari perkalian dua bilangan

Rumus : (a x b)^p = a^p x b^p
Contoh :
a. (2 x 5)² = 2² x 5² = 4 x 25 = 100
b. 2⁴ x 5⁴ = (2 x 5)⁴ = 10⁴ = 10000

• Pemangkatan dari pembagian dua bilangan

Rumus : (a : b)^p = a^p : b^p
Contoh :
a. (2 : 5)² = 2² : 5² = 4 : 25 = 1/4
b. 2⁴ : 5⁴ = (2 : 5)⁴

• Bilangan berpangkat negatif

• Bilangan berpangkat pecahan

E.     FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR 

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan adalah bilangan bulat positif terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan itu.

Dalam bahasa Inggris FPB dikenal dengan Greatest Common Divisor (GCD), sering djiuga disebut sebagai Greatest Common Factor (GCF) atau Highest Common Factor(HCF),

Contoh

Cara sederhana dapat digunakan untuk mencari FPB dari 2 atau 3 bilangan yang tidak terlalu besar, namun untuk bilangan yang lebih besar sebaiknya menggunakan carafaktorial.

Cara sederhana

Mencari FPB dari 12 dan 20:

·         Faktor dari 12 = 1, 2, 3, 4, 6 dan 12

·         Faktor dari 20 = 1, 2, 4, 5, 10 dan 20

·         FPB dari 12 dan 20 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu 4.

Mencari FPB dari 15 dan 25:

·         Faktor dari 15 = 1, 3, 5', dan 15

·         Faktor dari 25 = 1, 5, dan 25

·         FPB dari 15 dan 25 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu 5.

coba cari jawaban FPB dari 24 dan 36 adalah...faktor dari 24 adalah berikut 1,2,3,4,6,8,12,24

Cara Mencari FPB dengan M. Excel

Memanfaatkan Microsoft Excel yang pastinya ada di komputer kita untuk mencari FPB merupakan cara yang sangat praktis dan mudah. Misalkan: Tentukan nilai KPK dan FPBdari 24, 30, dan 36 ! maka langkah pemecahannya dengan M. Excel adalah:

·         ketikkan aja =GCD(24;30;36) kemudian enter dan liat hasilnya..

Cara faktorial

Mencari FPB dari bilangan 147, 189 dan 231:

·         Buat pohon faktor dari masing-masing bilangan:

             147         189             231

              / \            / \                / \

             3 49        3  63           3  77

               / \            / \               / \

              7  7         7  9            7  11

                              / \

                             3  3

·         Susun bilangan dari pohon faktor utk mendapatkan faktorialnya:

Faktorial 147 = 3¹ x 7²

Faktorial 189 = 3³ x 7¹

Faktorial 231 = 3¹ x 7¹ x 11¹

·Ambil faktor-faktor yang sekutu (sama) dari ketiga faktorial tersebut, dalam hal ini 3 dan 7.

·Kalikan faktor-faktor sekutu yang memiliki pangkat terkecil, dalam hal ini 3¹ x 7¹ = 21.

·Maka FPB dari bilangan 147, 189 dan 231 adalah 21. Dengan kata lain, tidak ada bilangan yang lebih besar dari 21 yang dapat membagi habis bilangan 147, 189 dan 231.

·Anom dalam Intelegen of East, KPK adalah Kelipatan Persekutuan Terkecil.

Algoritma Euklidean

Cara lain untuk mencari FPB adalah dengan menggunakan algoritma Euklidean. Misalkan a dan b adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka algoritma Euklidean adalah sebagai berikut:

·         a₁ = maximum(a,b)-minimum(a,b)

b₁ = minimum(a,b)

·         a₂ = maximum(a₁,b₁)-minimum(a₁,b₁)

b₂ = minimum(a₁,b₁)

·         a_i = maximum(a_i-1,b_i-1)-minimum(a_i-1,b_i-1)

b_i = minimum(a_i-1,b_i-1)

Algoritma tersebut berhenti hingga diperoleh a_i = b_i

FPB dari a dan b adalah a_i = b_i

Daftar Pustaka

http://id.wikipedia.org/

http://belajar-soal-matematika.blogspot.com/